（2005•朝陽區(qū)一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設(shè)|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．
分析：（I）由
a
=(cosα，sinα)，能求出|
a
|的值．
（II）由（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能證明（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（III）由k
a
+
b
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
a
-k
b
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，能夠求出β-α=
π
2
．
解答：解：（I）解：∵
a
=(cosα，sinα)，
∴|
a
| =
cos2α+sin2α
=1．（3分）
（II）證明：∵（
a
+
b
）•（
a
-
b
）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0，
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．（8分）
（III）解：∵k
a
+
b
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
∴
a
-k
b
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴|k
a
+
b
|  =
(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=
k2+1+2kcos(β-α)
，（12分）
|
a
-k
b
|  =
(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=
1-2kcos(β-α)+k2
，
∵|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，
∴
k2+1+2kcos(β-α)
=
1-2kcos(β-α)+k2
，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=
π
2
．（14分）
點評：本題考查向量的模的求法，求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直和求β-α的值．綜合性強，較繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，注意三角函數(shù)恒等變換的靈活運用．
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2
2
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4
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