Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：BC₁//平面A₁CD;
（Ⅱ）設(shè)AA₁=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C一A₁DE的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）三棱錐C一A₁DE的體積．

解析試題分析：（Ⅰ）證明：BC₁//平面A₁CD，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，注意到D,分別是AB，的中點(diǎn)，可考慮利用三角形的中位線平行，連結(jié)交于點(diǎn)F，則F為中點(diǎn)，連結(jié)DF，則∥DF，從而可證；（Ⅱ）求三棱錐C一A₁DE的體積．求體積，關(guān)鍵是找高，由已知=2，，可知三角形是等腰直角三角形，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/c/1q7fv4.png" style="vertical-align:middle;" />是直三棱柱，則，即為高，有平面幾何知識可得是直角三角形，可求得面積，從而可得體積．
試題解析：（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)F，則F為中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則∥DF
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/48/3/8bvu.png" style="vertical-align:middle;" />所以∥平面
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/c/1q7fv4.png" style="vertical-align:middle;" />是直三棱柱，所以，,由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以,又,于是.由=2，得
, ,,E=3，
故,，所以 （12分)

考點(diǎn)：線面平行的判定，幾何體的體積．