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(本小題滿分14分)

在數列中,,且前項的算術平均數等于第項的倍(). (即

(1)寫出此數列的前5項;

(2)歸納猜想的通項公式,并加以證明.

 

【答案】

(1);

(2),證明見解析

【解析】(1)此條件的本質是,然后令n=1,2,3,4,5,求出前5項即可。

(2)根據求得的前5項可以歸納出,由于要證明的結論與n有關,可以考慮采用數學歸納法進行證明:證明要分兩個步驟進行:(i)說明n=1時命題成立。(2)先假設n=k時,命題成立;再證明n=k+1時,命題也成立,在證明時要用上n=k時的歸納假設。

解:(1)由已知,,分別取,

,,

,所以數列的前5項是:,

.__4分

(2)由(1)中的分析可以猜想.______6分

下面用數學歸納法證明:

①當時,公式顯然成立.②假設當時成立,即,那么由已知,

,所以

,又由歸納假設,得,

所以,即當時,公式也成立.

由①和②知,對一切,都有成立. ----------14分

 

練習冊系列答案
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(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設AB是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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已知=2,點()在函數的圖像上,其中=.
(1)證明:數列}是等比數列;
(2)設,求及數列{}的通項公式;
(3)記,求數列{}的前n項和,并證明.

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