Question

已知復(fù)數(shù)z=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有w=，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式；
（Ⅱ）將（x、y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)，，求出|z|=2，繼而求出m，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換，代換的方法，求軌跡方程；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設(shè)為y=kx+b（k≠0）
結(jié)合以上兩問求解．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)，，∴|z|=2，
于是由，…（3分）
因此由，
得關(guān)系式…（5分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線y=x+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q（x'，y'）滿足，…（7分）
消去x，得，
故點(diǎn)Q的軌跡方程為…（10分）
（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設(shè)為y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵該直線上的任一點(diǎn)P（x，y），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，
∴，
即，
當(dāng)b≠0時(shí)，方程組無解，
故這樣的直線不存在．                                            …（16分）
當(dāng)b=0時(shí)，由，
得，
解得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，…（18分）
[解法二]取直線上一點(diǎn)，其經(jīng)變換后的點(diǎn)仍在該直線上，
∴，
得b=0，…（14分）
故所求直線為y=kx，取直線上一點(diǎn)P（0，k），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上．
∴，…（16分）
即，得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和計(jì)算，軌跡方程的求解，考查轉(zhuǎn)化、代入、計(jì)算、推理能力．