Question

已知在△ABC中，A（2，4），B（-1，-2），C（4，3），BC邊上的高為AD，垂足為D：
（1）求證：AB⊥AC；
（2）求點(diǎn)D和向量

AD

的坐標(biāo)；
（3）設(shè)∠ABC=θ，求cosθ的值；
（4）求證：AD²=BD•DC．

Answer 1

分析：（1）寫出向量

BA

和

AC

的坐標(biāo)，只要證明數(shù)量積為0即可．
（2）由D在BC上，所以存在實(shí)數(shù)λ使

BD

=λ

BC

，可由λ表達(dá)出D的坐標(biāo)，再由AD⊥BC可求出λ，繼而可求得點(diǎn)D和向量

AD

的坐標(biāo)．
（3）直接由夾角公式求解即可．
（4）由兩點(diǎn)間的距離公式分別求等式兩邊的距離即可．

解答：解：（1）

BA

=（3，6），

AC

=（2，-1），所以

BA

•

AC

=3×2+6×（-1）=0，
所以AB⊥AC
（2）由D在BC上，所以存在實(shí)數(shù)λ使

BD

=λ

BC

=（5λ，5λ），所以D（5λ-1，5λ-2）
所以

AD

=（5λ-3，5λ-6），由AD⊥BC得

AD

•

BC

=（5λ-3，5λ-6）（5，5）=0，λ=

9

10

所以D（

7

2

，

5

2

），

AD

=（

3

2

，-

3

2

）
（3）cosθ=

BA • BC

| BA || BC |

=

45

9+36 25+25

=

3 10

10

（4）

AD

2=

9

4

+

9

4

=

9

2

BD=

( 7 2 +1)2+ ( 5 2 +2)2

=

9 2

2

，DC=

(4- 7 2 )2+(3- 5 2 )2

=

2

2

所以BD•DC=

9

2

=AD²

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)、向量的夾角公式、兩個(gè)向量共線和垂直的條件等知識(shí)，考查運(yùn)算能力．