Question

已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：
（1）A₁D與EF所成角的大�。�
（2）A₁F與平面B₁EB所成角；
（3）二面角C-D₁B₁-B的大�。�

Answer 1

分析：因?yàn)槭钦�方休，又是空間角問題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，（1）先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得相關(guān)向量

A1D

=(-1，0，-1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，及其模|

A1D

|=

(-1)2+0+(-1)2

=

2

|

EF

|=

(- 1 2 )2+(- 1 2 )2+0

=

2

2

再用向量的夾角公式求解．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)锳B⊥平面B₁C₁CB，所以

AB

是平面B₁EB的法向量，再用向量的夾角公式求解．
（3）先分別求得兩個(gè)半平面的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式求解二面角．

解答：解：不妨設(shè)正方體的棱長為1，以

DA

，

DC

，

DD1

為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），E（

1

2

，1，0），F(xiàn)（0，

1

2

，0）（1）因?yàn)?span id="07qenmd" class="MathJye">

A1D

=(-1，0，-1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
所以|

A1D

|=

(-1)2+0+(-1)2

=

2

|

EF

|=

(- 1 2 )2+(- 1 2 )2+0

=

2

2

A1D

•

EF

=

1

2

+0+0=

1

2

可知向量

A1D

與

EF

的夾角為60°
因此A₁D與EF所成角的大小為60°
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)锳B⊥平面B₁C₁CB，所以

AB

是平面B₁EB的法向量
因?yàn)?span id="qhkw94c" class="MathJye">

AB

=(1，1，0)-(1，0，0)=(0，1，0)

A1F

=(0，

1

2

，0)-(1，0，1)=(-1，

1

2

，-1)
所以|

AB

|=1，|

A1F

|=

3

2

，

A1F

•

AB

=

1

2

，
由cos＜

A1F

，

AB

＞=

1

3

，
所以可得向量之間的夾角約為：19.47°
（3）因?yàn)锳C₁⊥平面B₁D₁C，所以

AC1

是平面B₁D₁C的法向量，因?yàn)?span id="yzqhgqs" class="MathJye">

AC1

=(-1，1，1)，

AC

=(-1，1，0)，|

AC1

|=

3

，|

AC

|=

2

，

AC1

•

AC

=2
所以cos＜

AC1

，

AC

＞=

6

3

，所以可得兩向量的夾角為35.26°
根據(jù)二面角夾角相等或互補(bǔ)可知，二面角約為：35.26°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量法在求空間角中的應(yīng)用，在研究空間角時(shí)，要首選向量法，方便靈活，是�？碱愋�，屬中檔題．