Question

實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：
（1）點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積；
（2）

b-2

a-1

的取值范圍；
（ 3）（a-1）²+（b-2）²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+2b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與零點(diǎn)存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，利用三角形的面積公式即可算出該區(qū)域的面積；
（2）設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式可得k=

b-2

a-1

表示D、E連線(xiàn)的斜率，將點(diǎn)E在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)并觀察直線(xiàn)的傾斜角的變化，即可算出k=

b-2

a-1

的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式可得（a-1）²+（b-2）²表示點(diǎn)D、E之間距離的平方，再運(yùn)動(dòng)點(diǎn)E并觀察D、E的距離變化，即可算出（a-1）²+（b-2）²的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出滿(mǎn)足上述不等式組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a，b）所在的平面區(qū)域，
得到△ABC及其內(nèi)部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC=

1

2

|BC|×yA=

1

2

×1×1=

1

2

，即為點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積．

（2）設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，
則k=

b-2

a-1

，表示點(diǎn)E（a，b）與點(diǎn)D（1，2）連線(xiàn)的斜率
∵kAD=

2-1

1+3

=

1

4

，kCD=

2-0

1+1

=1，結(jié)合圖形可知：kAD＜

b-2

a-1

＜kCD，
∴

b-2

a-1

的取值范圍是(

1

4

，1)；
（3）設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)D、E之間距離的平方
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)E，可得當(dāng)E在C點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在當(dāng)E在A點(diǎn)滿(mǎn)足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²取值范圍為：（8，17）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)a、b的一元二次方程滿(mǎn)足的條件，求參數(shù)a、b滿(mǎn)足的不等式組，并依此求關(guān)于a、b式子的取值范圍．著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線(xiàn)的斜率公式與兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．