Question

已知動雙曲線的右頂點在拋物線y²=x-1上，實軸長為定值4，右準線恰為y軸．
（Ⅰ）求動雙曲線中心的軌跡方程；
（Ⅱ）求虛半軸長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)設(shè)雙曲線的中心為M（x，y），由于右準線為y軸，故x＜0．再根據(jù)實軸長為4，得雙曲線的右頂點為（x+2，y）．由題意知點（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，由此能求出動雙曲線中心的軌跡方程．
（Ⅱ）先設(shè)雙曲線方程為．可得右準線為．而右準線方程為x=0，從而有．由（Ⅰ）知，故．由此建立關(guān)于b的不等關(guān)系即可求出虛半軸長的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）：設(shè)雙曲線的中心為（x，y），由于右準線為y軸，故x＜0．
∵實軸長為4，故a=2．
∴雙曲線的右頂點為（x+2，y）．
由題意知點（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，
∴y²=（x+2）-1=x+1．
∴雙曲線中心的軌跡方程為y²=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）
（Ⅱ）：設(shè)雙曲線方程為．
∵a=2，故．
由，得右準線為．
而右準線方程為x=0，
∴．
∴．
由（Ⅰ）知，
故．
化簡得b²≥12，故．
∴虛半軸長的取值范圍是．…（14分）
點評：本題主要考查拋物線標準方程，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．