Question

【題目】已知拋物線:上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為1.

(1)求的值;

(2)若點(diǎn)在曲線:上,且在曲線上存在三點(diǎn),,,使得四邊形為平行四邊形.求平行四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為.

【解析】

（1）由拋物線定義,結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)可知到準(zhǔn)線的距離為最小值,即可求得的值;

（2）方法一:設(shè)出直線的方程,并討論斜率是否存在.聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)的坐標(biāo).將點(diǎn)代入曲線可得.根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,即可表示出B點(diǎn)坐標(biāo),可得方程.利用三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,根據(jù)等量關(guān)系即可求得面積的最小值.

方法二: 設(shè),,表示出直線的方程,由點(diǎn)在曲線上,可得.由,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,可得B點(diǎn)坐標(biāo),將B的坐標(biāo)代入拋物線方程,可得的等量關(guān)系.根據(jù)三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,進(jìn)而由不等式關(guān)系即可求得最小值.

（1）根據(jù)拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為1

即到準(zhǔn)線的距離為1

即,所以

（2）方法一:設(shè)直線:,

當(dāng)不存在時(shí),此時(shí)直線為豎直線,與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),故舍去.

設(shè),

聯(lián)立方程,得

,.

故線段中點(diǎn)

而點(diǎn)在曲線:上

故

若要滿足四邊形為平行四邊形,則,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.則.又點(diǎn)在拋物線上,

故滿足方程,即①

,

代入①得:,

所以

所以平行四邊形的面積的最小值為.

方法二:設(shè),,

直線:,點(diǎn)在曲線:上,

故.線段中點(diǎn),若要滿足四邊形為平行四邊形,

則,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則.又點(diǎn)在拋物線上

故滿足方程,即①

.

所以平行四邊形的面積的最小值為.