Question

【題目】如圖，在四面體中， 平面， ， ，

為的中點.

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（Ⅲ）求四面體的外接球的表面積.

（注：如果一個多面體的頂點都在球面上，那么常把該球稱為多面體的外接球. 球的表面積）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）易證平面，進而得；

（Ⅱ）以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個法向量為和平面的一個法向量為，利用法向量求二面角即可；

（Ⅲ）取的中點為，由線段長相等即可證得為四面體的外接球的球心，進而可求球的表面積.

試題解析：

（Ⅰ）因為平面， 平面，

所以.

又因為， ，

所以平面.

又因為平面，

所以.

（Ⅱ）如圖，設(shè)的中點為， 的中點為，連接， ，

因為平面，

所以平面，由，且，可得， ， 兩兩垂直，所以分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，/p>

則， ， ， ， .

所以， ， .

設(shè)平面的一個法向量為，

由， ，得

令，得.

設(shè)平面的一個法向量為，

由， ，得

令，得.

所以.

由圖可知，二面角的余弦值為.

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ），記的中點為，

由題意， 為直角三角形，斜邊，

所以.

由（Ⅰ），得平面，

所以.

在直角中， 為斜邊的中點，

所以.

所以為四面體的外接球的球心，

故四面體的外接球的表面積. .