Question

若方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有解，則m的取值范圍是

[

1

2

，36]

．

Answer 1

分析：由題意可得m≠0，令f（x）=mx²-3x-3，若方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有1個解，可得f（

1

3

）f（3）≤0，由此求得≤m的范圍．若方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有2個解，可得

△=9+12m≥0 1 3 ≤ 3 2m ≤3 f( 1 3 )f(3)=( m 9 -4)(9m-12)≥0

．由此求得m的范圍．再把求得的這兩個m的范圍取并集，即得所求．

解答：解：當m=0時，解得x=-1，不滿足條件，故m≠0．
由題意可得方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有1個解或有2個解．
令f（x）=mx²-3x-3，若方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有1個解，可得f（

1

3

）f（3）≤0，
即 （

m

9

-4）（9m-12）≤0，解得

4

3

≤m≤36．
若方程mx²-3x-3=0在[

1

3

，3]上有2個解，可得

△=9+12m≥0 1 3 ≤ 3 2m ≤3 f( 1 3 )f(3)=( m 9 -4)(9m-12)≥0

．
解得

1

2

≤m≤

9

2

．
綜上可得，得

4

3

≤m≤36，
故答案為[

1

2

，36]．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．