Question

若直線ax+2by-2=0（a，b∈（0，+∞）平分圓x²+y²-4x-2y-6=0，則

1

a

+

2

b

的最小值是（　　）

• A、4

  2

• B、3+2

  2

• C、2
• D、5

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，找出圓心坐標(biāo)，因?yàn)橹本�平分圓，得到已知直線過(guò)圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程即可得到a與b之和為1，然后把所求的式子乘以1即a+b，化簡(jiǎn)后，由a與b都為正數(shù)，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：依題意，圓x²+y²-4x-2y-6=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-2）²+（y-1）²=11，
直線ax+2by-2=0平分圓，即圓心（2，1）在直線上，
所以得到2a+2b-2=0，即a+b=1，又a，b∈（0，+∞），
所以a+b=1，

1

a

+

2

b

=（a+b）•（

1

a

+

2

b

）=1+2+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

a+b=1 b a = 2a b

時(shí)，等號(hào)成立，
選擇B

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用基本不等式求出函數(shù)的最值，是一道綜合題．本題的突破點(diǎn)是將“1”變?yōu)閍與b的和，將所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)．