Question

函數(shù)f(x)=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）＞5在定義域上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調(diào)性的定義，根據(jù)函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，可得不等式a＜-2x₁x₂恒成立，從而可求a的取值范圍；
（2）f（x）＞5在定義域上恒成立，即2x-

a

x

＞5（x∈（0，1]）恒成立，即a＜2x²-5x（x∈（0，1]）恒成立，求出右邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
∴任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，恒有f（x₁）＞f（x₂），
∴2x1-

a

x1

-2x2+

a

x2

＞0
∴(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
即a＜-2x₁x₂恒成立，
∵1＞x₁x₂＞0
∴a≤-2
（2）f（x）＞5在定義域上恒成立，
即2x-

a

x

＞5在x∈（0，1]上恒成立
∵0＜x≤1
∴2x²-a＞5x
∴a＜2x²-5x在x∈（0，1]上恒成立
∵2x²-5x=2(x-

5

4

)2-

25

8

∴函數(shù)y=2x²-5x在（0，1]上單調(diào)減
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值-3
∴a＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義，利用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題．