Question

（2012•湖北模擬）已知a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），求證：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，f′(x)=2x+a-

1

x

，可得切線的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

，即x02+lnx0-1=0，由x₀=1是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，可證
（Ⅱ）由F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，先研究函數(shù)h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，則h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
由h'（x）在（0，1]上是減函數(shù)，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通過(guò)研究2-a的正負(fù)可判斷h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)F（x）的單調(diào)性，可求

解答：解：（I）f′(x)=2x+a-

1

x

（x＞0）．  …（2分）
過(guò)切點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

整理得x02+lnx0-1=0．…（4分）
顯然，x₀=1是這個(gè)方程的解，又因?yàn)閥=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一實(shí)數(shù)解．故x₀=1．…（6分）
（Ⅱ）F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

．…（8分）
設(shè)h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，則h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
易知h'（x）在（0，1]上是減函數(shù)，從而h'（x）≥h'（1）=2-a．   …（10分）
（1）當(dāng)2-a≥0，即a≤2時(shí)，h'（x）≥0，h（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．
所以，a≤2滿足題意．            …（12分）
（2）當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，設(shè)函數(shù)h'（x）的唯一零點(diǎn)為x₀，
則h（x）在（0，x₀）上遞增，在（x₀，1）上遞減．又∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h(yuǎn)（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)x'，
當(dāng)x∈（0，x'）時(shí)，h（x）＜0，當(dāng)x∈（x'，1）時(shí)，h（x）＞0．
從而F（x）在（0，x'）遞減，在（x'，1）遞增，與在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜合（1）（2）得，a≤2．           …（15分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)能力，函數(shù)單調(diào)性的判定，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，試題具有一定的綜合性．