Question

已知正項數列{a_n}的前n項和S_n滿足：4S_n=(an+1)2，n∈N^*，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n和前n項和S_n；
（Ⅱ）求數列{

1

anan+1

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）證明：不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

對任意的n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=(an+1)2，得4s_n-1=(an-1+1)2，兩式相減得a_n的表達式；由a_n可求s_n的表達式；
（2）由a_n=2n-1，用裂項法計算{

1

anan+1

}的前n項和T_n；
（3）由（2）知T_n=

1

2

-

1

4n+2

，n∈N^*，用放縮法可證明不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

成立．

解答：解：（1）∵4S_n=(an+1)2，n∈N^*，
∴4s_n-1=(an-1+1)2，（n≥2）；
∴4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2，（n≥2），
∴(an-1)2=(an-1+1)2，（n≥2）；
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，（n≥2）；
又∵正項數列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1-2=0（n≥2）；
又n=1時，4a₁=4s₁=(a1+1)2，a₁＞0，
∴a₁=1，∴數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n-1，n∈N^*，
∴s_n=

1

4

(an+1)2=n²，n∈N^*；
（2）∵a_n=2n-1，∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴前n項和T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

；
（3）證明：∵T_n=

1

2

-

1

4n+2

，n∈N^*，
∴

1

3

=

1

2

-

1

4×1+2

≤T_n=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

，
∴不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

對任意的n∈N^*都成立．

點評：本題考查了數列的前n項和公式列以及數列求和的裂項法、不等式證明的放縮法等問題，是易錯題．