Question

設函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=x²-x，記h（x）=f（x）+g（x）．
（1）h′（x）為h（x）的導函數(shù)，判斷函數(shù)y=h′（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）若函數(shù)y=|h（x）-a|-1=0有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=e^x+x²-x，∴h'（x）=e^x+2x-1，
令F（x）=h'（x），則F'（x）=e^x+2＞0，
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，即h'（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，而h'（0）=0，
∴h'（x）=0有唯一解x=0，x，h'（x），h（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值	遞增

又∵函數(shù)y=|h（x）-a|-1有兩個零點，
∴方程|h（x）-a|-1=0有兩個根，即方程h（x）=a±1有兩個根
而a+1＞a-1，∴a-1＜（h（x））_min=h（0）=1且a+1＞（h（x））_min=h（0）=1，
解得0＜a＜2．
所以，若函數(shù)y=|h（x）-a|-1有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是（0，2）
分析：（1）由函數(shù)y=h（x）求出它的導函數(shù)h′（x），令F（x）=h'（x），可根據(jù)其導函數(shù)的正負，即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，由導數(shù)法，可得h（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)y=|h（x）-a|-1有兩個零點，從而有方程|h（x）-a|-1=0有兩個根，即方程h（x）=a±1有兩個根，利用函數(shù)h（x）的最小值建立關于a的不等關系，即可得實數(shù)a的取值范圍．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)能力，函數(shù)單調(diào)性的判定，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中熟練掌握函數(shù)零點與方程根之間的對應關系是解答的關鍵．