已知一曲線是與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為
1
2
的點的軌跡．
（1）求此曲線C的方程
（2）設(shè)P（x，y）為曲線C上任意一點，求
y
x-2
的取值范圍．
分析：（1）設(shè)點M（x，y）是曲線上的任意一點，欲求出動點M的軌跡方程，只須求出x，y的關(guān)系式即可，結(jié)合距離的比，用坐標(biāo)來表示距離，利用兩點間的距離公式化簡即可求得點P的軌跡方程．
（2）利用
y
x-2
的幾何意義，轉(zhuǎn)化為P（x，y）與定點（2，0）所連直線的斜率，故易求．
解答：解：（1）設(shè)曲線C上任意一點為M（x，y），由已知可得
x2+y2
(x-3)2+y2
=
1
2
兩邊平方并整理得(x+1)2+y2=4即為曲線C的方程
（2）
y
x-2
=
y-0
x-2
表示P(x，y)與定點(2，0)所連直線的斜率
而點P(x，y)在圓(x+1)2+y2=4上運動，易求得
y
x-2
的取值范圍為[-
2
5
5
，
2
5
5
]
點評：本題考查軌跡方程，利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天利38套《2008全國各省市高考模擬試題匯編　精華大字版》、數(shù)學(xué)理 題型：044

已知兩定點A(0，－1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA＝2∠MAC．

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設(shè)曲線Q與y軸的交點為B，點E、F是曲線Q上兩個不同的動點，且·＝0，直線AE與BF交于點P(x0，y0)，求證：為定值；

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點和點E的直線是曲線Q的一條切線．

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得·＝·(或||·|＝||·||)，若存在，求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩定點A(0，-1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設(shè)曲線Q與y軸的交點為B，點B、F是曲線Q上兩個不同的動點，且=0，直線AE與BF交于點P(x0，y0)，求證：為定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點p′(0，y0)和點E的直線是曲線Q的一條切線.

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得(或)，若存在，求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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