Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2

【解析】

（1）通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷的單調(diào)增區(qū)間（2）討論參數(shù)，利用求導(dǎo)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再通過(guò)最小值和的比較來(lái)判斷零點(diǎn).

（1）若，，函數(shù)定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

若，，，根據(jù)函數(shù)定義域知.

若，，則有，此時(shí)單調(diào)遞增.

若，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞增.

綜上，若，單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）若，有最小值，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).

若，.

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以只有一個(gè)零點(diǎn).

若，是的最小值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，而.并且當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞減，故在必存在一個(gè)零點(diǎn).

而， 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞增.故在必存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，有兩個(gè)零點(diǎn).