Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=2x-x²；
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）畫(huà)出其大致圖象并指出其單調(diào)區(qū)間．
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k-1有三個(gè)零點(diǎn)，求K的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，先設(shè)x＜0時(shí)，則-x＞0，結(jié)合題意得到f（-x）=-（-x）²+2（-x），然后利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．
（2）先畫(huà)出當(dāng)x≥0時(shí)，的函數(shù)圖象，結(jié)合奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可畫(huà)出x＜0時(shí)的函數(shù)圖象即可
（3）結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷

解答：（1）解：當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，
因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x²+2x
所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x
又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），
所以-f（x）=-x²-2x
∴f（x）=x²+2x，x＜0
∴f(x)=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

…（4分）
（2）圖象如圖
其單調(diào)遞增區(qū)間[-1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）…（9分）
（3）∵g（x）=f（x）+k-1有三個(gè)零點(diǎn)
即f（x）與y=1-k有三個(gè)交點(diǎn)（0，2），結(jié)合（2）中函數(shù)的圖象可得-1＜1-k＜1
∴0＜k＜2（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，及利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及方程的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化