Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cos ?  y=2sin?-2

（?為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，C₂的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，（余弦展開為+號，改題還是答案？）
（1）求曲線C₁的極坐標方程及C₂的直角坐標方程；
（2）點P為C₁上任意一點，求P到C₂距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁的參數(shù)方程先化為普通方程，再利用普通方程與極坐標方程的互化公式即可化為極坐標方程；同理即可把C₂的極坐標方程化為普通方程．
（2）利用C₂的參數(shù)方程及點到直線的距離公式即可求出．

解答：解：（1）∵C₁的直角坐標方程為x²+（y+2）²=4，∴C₁的極坐標方程為ρ+4cosθ=0，
∵C₂的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，展開為ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)=

2

，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴C₂的直角坐標方程為x+y-2=0；
（2）由C₂的參數(shù)方程為

x=2cosα y=-2+2sinα

（α為參數(shù)），∴可設P（2cosα，2sinα-2）．
∴點P到直線C₂的距離為d=

|2cosα+2sinα-4|

2

=

|4-2 2 sin(α+ π 4 )|

2

=2

2

-2sin(α+

π

4

)．

|2cos?-2sin?+4|

2

=|2

2

-2sin(?+

π

4

)|，
∴點P到直線C₂的距離的取值范圍為[2

2

-2，2

2

+2]．

點評：熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化方法及點到直線的距離是解題的關鍵．