Question

（本小題滿分14分）

已知動圓過定點，且與直線相切.

 

(1)求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線:，并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)。

【解析】

試題分析：（1）如圖，設(shè)為動圓圓心， ，過點作直線的垂線垂足為，

由題意知：         ………………3分

即動點到定點與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點,為準線，

∴動圓圓心的軌跡方程為    …………6分

（2）直線的方程為

由得   ………8分

， 且………9分

設(shè)，，，

則，…11分

由，有，…12分

即，解得 …………13分

所以存在合乎題意的直線且直線方程為  …………14分

考點：拋物線的定義；軌跡方程的求法；直線與拋物線的綜合應(yīng)用。

點評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。