Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，解關于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4對任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）＞2g（x）+1為|x﹣4|＞4|x|+1， x＜0，不等式化為4﹣x＞﹣4x+1，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0；
0≤x≤4，不等式化為4﹣x＞4x+1，解得x＜ ，∴0≤x＜ ；
x＞4，不等式化為x﹣4＞4x+1，解得x＜﹣ ，無解；
綜上所述，不等式的解集為{x|﹣1＜x＜ }；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4對任意x∈R恒成立，即|x﹣4|≥a|x|﹣4對任意x∈R恒成立，
當x=0時，不等式|x﹣4|≥a|x|﹣4恒成立；
當x≠0時，問題等價于a≤ 對任意非零實數(shù)恒成立．
∵ ≥ =1，∴a≤1，即a的取值范圍是（﹣∞，1]
【解析】（1）當a=2時，不等式f（x）＞2g（x）+1為|x﹣4|＞4|x|+1，分類討論求得x的范圍．（2）由題意可得|x﹣4|≥a|x|﹣4對任意x∈R恒成立．當x=0時，不等式顯然成立；當x≠0時，問題等價于a≤ 對任意非零實數(shù)恒成立，再利用絕對值三角不等式求得a的范圍．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．