Question

(08年四川卷文)（本小題滿分12分）

  如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，

，，分別為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：四邊形是平行四邊形；

（Ⅱ）四點(diǎn)是否共面？為什么？

（Ⅲ）設(shè)，證明：平面平面；

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意知，

所以

又，故

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點(diǎn)共面。理由如下：

由，是的中點(diǎn)知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又點(diǎn)在直線上

所以四點(diǎn)共面。

（Ⅲ）連結(jié)，由，及知是正方形

故。由題設(shè)知兩兩垂直，故平面，

因此是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

 

解法二：

由平面平面，，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

（Ⅰ）設(shè)，則由題設(shè)得

　　

所以

于是

又點(diǎn)不在直線上

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點(diǎn)共面。理由如下：

由題設(shè)知，所以

又，故四點(diǎn)共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面