Question

已知橢圓的長軸長為4．
（1）若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為k_PM，k_PN，當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，再結(jié)合橢圓的長軸的長為4，進(jìn)而根據(jù)橢圓中a，b，c的關(guān)系得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由題意可設(shè)M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），所以有，兩式相減得：，再結(jié)合兩條直線的斜率與題中條件可得答案．
解答：解：（1）由…（2分）
又因?yàn)?a=4，
所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）
所以c²=a²-b²=2，
∴…（6分）
（2）由于過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N交于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
不妨設(shè)：M（x，y），N（-x，-y），P（x，y）
因?yàn)镸，N，P在橢圓上，
所以它們滿足橢圓方程，即有
兩式相減得：．…（8分）
由題意它們的斜率存在，則…（10分）

故所求橢圓的方程為…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓與直線的位置關(guān)系，以及直線的斜率等問題，綜合性強(qiáng)．