(Ⅰ)由函數(shù)
的周期為
,
,得
又曲線
的一個(gè)對(duì)稱中心為
,
故
,得
,所以
將函數(shù)
圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的
倍(縱坐標(biāo)不變)后可得
的圖象,再將
的圖象向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)
(Ⅱ)當(dāng)
時(shí),
,
所以
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程
在
內(nèi)是否有解
設(shè)
,
則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015513381729.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,
在
內(nèi)單調(diào)遞增
又
,
且函數(shù)
的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)
在
內(nèi)存在唯一零點(diǎn)
,
即存在唯一的
滿足題意
(Ⅲ)依題意,
,令
當(dāng)
,即
時(shí),
,從而
不是方程
的解,所以方程
等價(jià)于關(guān)于
的方程
,
現(xiàn)研究
時(shí)方程解的情況
令
,
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線
與曲線
在
的交點(diǎn)情況
,令
,得
或
當(dāng)
變化時(shí),
和
變化情況如下表
當(dāng)
且
趨近于
時(shí),
趨向于
當(dāng)
且
趨近于
時(shí),
趨向于
當(dāng)
且
趨近于
時(shí),
趨向于
當(dāng)
且
趨近于
時(shí),
趨向于
故當(dāng)
時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有無(wú)交點(diǎn),在
內(nèi)有
個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)
時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有
個(gè)交點(diǎn),在
內(nèi)無(wú)交點(diǎn);
當(dāng)
時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有
個(gè)交點(diǎn),在
內(nèi)有
個(gè)交點(diǎn)
由函數(shù)
的周期性,可知當(dāng)
時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),從而不存在正整數(shù)
,使得直線
與曲線
在
內(nèi)恰有
個(gè)交點(diǎn);當(dāng)
時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有
個(gè)交點(diǎn),由周期性,
,所以
綜上,當(dāng)
,
時(shí),函數(shù)
在
內(nèi)恰有
個(gè)零點(diǎn)
三角函數(shù)解析式的確定相對(duì)而言應(yīng)該比較容易,也就是說(shuō)即使是20題的第一問(wèn)往往難度也不會(huì)太大,而我們同學(xué)可能因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系而丟掉了撿分的機(jī)會(huì),所以建議大家可以先試看看此問(wèn)是否熟悉,再做整體規(guī)劃。三角函數(shù)的圖像變換要千萬(wàn)注意左右平移只對(duì)x而言。而第二問(wèn)對(duì)于是否等比的轉(zhuǎn)化是處理的關(guān)鍵,所以函數(shù)思想無(wú)處不在,要善于運(yùn)用。第三問(wèn)從特殊到一般的思想是此問(wèn)的靈魂,而此法的選擇也因?yàn)閰?shù)分離后三角函數(shù)的周期性,所以萬(wàn)物皆有聯(lián)系,只是平時(shí)要練就一雙慧眼就不簡(jiǎn)單了。
【考點(diǎn)定位】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、恒等變換、圖像以及函數(shù)的零點(diǎn)。將函數(shù)的所有性質(zhì)依托于三角函數(shù)展示,并且對(duì)多方面能力的綜合考查。屬于難題,但第一問(wèn)是送給學(xué)生的。