Question

f（x）=ln（x+1）-x+x²
（1）當k=2時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）討論f（x）的單調性．
（3）當k＞0時，方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個不同的根，求k范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導數的幾何意義，求出函數f（x）在x=1處的導數值，從而得到切線的斜率，再求出切點坐標，利用直線方程的點斜式列式，化簡成一般式即可得到f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求出導函數f'（x），分k=0、k＜0、0＜k＜1、k=1、k＞1幾種情形，分別在函數的定義域內解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可得到各種情況下函數的單調區(qū)間．
（3）根據（2）的單調性結論，結合函數零點存在性定理可得0＜k＜1，并由此建立關于k的不等式組，解之即可得到符合題意的實數k的取值范圍．
解答：解：（1）當k=2時，f（x）=ln（1+x）-x+x²，
∴求導數，得f'（x）=-1+2x，可得f’（1）=且f（1）=ln2，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-ln2=（x-1），化簡得3x-2y+2ln2-3=0；
（2）f'（x）=，x∈（-1，+∞）
①當k=0時，f′（x）=-
因此，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0；
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0），單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
②當k＜0時，因為==k+＜0
∴若x＞0，則f'（x）=＜0；若-1＜x＜0，則＞0
因此，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0），單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
③當0＜k＜1時，f′（x）==0，得x₁=0，x₂=＞0；
因此，在區(qū)間（-1，0）和（，+∞）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0， ）上，f'（x）＜0；
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0）和（，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，）；
④當k=1時，f′（x）=≥0恒成立，故f（x）的遞增區(qū)間為（-1，+∞）；
⑤當k＞1時，由f′（x）==0，得x₁=0，x₂=∈（-1，0）；
因此，在區(qū)間（-1，）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間（，0）上，f'（x）＜0；
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，）和（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（，0）．
（3）∵當k＞0時，方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個不同的根
∴函數f（x）在區(qū)間[0，1]的單調性是先增后減，或先減后增
再根據（2）中的單調性，可得0＜k＜1，且函數f（x）在（0，）上為減函數，在（，+∞）上為增函數
∴根據函數零點存在性定理，得，解之可得2-2ln2≤k＜1
即方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個不同的根時，實數k的取值范圍為[2-2ln2，1）．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數的單調性等知識，屬于中檔題．本題是一道綜合題，還考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論的數學思想等常用的數學知識，是一道不錯的高考題．