【題目】給定函數(shù),若對于定義域中的任意,都有恒成立,則稱函數(shù)為“爬坡函數(shù)”.
(1)證明:函數(shù)是爬坡函數(shù);
(2)若函數(shù)是爬坡函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若對任意的實數(shù)b,函數(shù)都不是爬坡函數(shù),求實數(shù)c的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)或(3)
【解析】
試題分析:(1)利用定義直接判斷f(x)-≥0恒成立即可;(2)由題意可知,4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立,利用換元思想,設(shè)=t,則t>0,上式變?yōu)?/span>,分別討論對稱軸,求出函數(shù)的最小值即可;(3)由題意可知,對任意的實數(shù)b,存在x,使得,相當(dāng)于f(x)-x=0有兩不相等的實根,得出,即-b+1-4c>0對任意的實數(shù)b恒成立,在利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知
試題解析:(1)∵,
∴f(x)≥x恒成立,即得函數(shù)f(x)=x2+1是爬坡函數(shù);
(2)由題意可知,4x+m2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立,
∴4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立.
設(shè)2x=t,則t>0,上式變?yōu)閠2+2mt+2m2﹣4≥0,
設(shè)g(t)=t2+2mt+2m2﹣4=(t+m)2+m2﹣4(t>0)
①若﹣m>0,則,解得m≤﹣2;
②若﹣m≤0,則g(0)=2m2﹣4≥0,解得;
綜上所述,m的取值范圍是m≤﹣2或;
(3)由題意,對任意的實數(shù)b,存在x,使得,
即,
故,即b2﹣b+1﹣4c>0對任意的實數(shù)b恒成立,
∴,解得.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么y=x2 , 值域為{1,9}的“同族函數(shù)”共有( )
A.7個
B.8個
C.9個
D.10個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線與圓交于兩點,且關(guān)于直線對稱,動點P在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運動,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進行調(diào)查,在高三的全體1000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表,并得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù);
(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對年級名次在1~50名和951~1000名的學(xué)生進行了調(diào)查,得到右表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?
(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:
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