Question

（本題滿分16分）圍建一個(gè)面積為360m²的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x（單位：m），修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y（單位：元）

⑴將y表示為x的函數(shù)；

⑵寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明；

⑶根據(jù)⑵，試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。

Answer 1

解：⑴如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m

         則y=45x+180(x－2)+180×2a=225x+360a－360

         由已知  ax=360a=

       ∴y=225x+－360(x>0)   ……………………………………………6′

       ⑵任取x₁>x₂>0

          y₁－y₂=225(x₁－x₂)+

               =(x₁－x₂)( 225－)      ……………………………………10′

            ∴x₁x₂>()²=24²時(shí)，  y₁>y₂

                     x₁x₂<24   時(shí)，  y₁y₂  

                  ∴x₁>x₂≥24時(shí)

              y₁>y₂       24> x₁>x₂>0時(shí)

              y₁<y₂

        即f(x)在（0，24）單調(diào)減，在（24，+∞）單調(diào)增   …………………14′

       ⑶x=24時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為10440元…………………16′