【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是，

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解；

（2）設(shè)直線,點(diǎn)到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點(diǎn)到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.

（1）直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,

因?yàn)榫�段AB的中點(diǎn)是,

設(shè),則,且,

又,作差可得,

則,得

又,

所以,

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）聯(lián)立,解得或,

不妨令,易知直線l的斜率存在,

設(shè)直線,代入,得,

解得或,

設(shè),則,

則,

因?yàn)?/span>到直線的距離分別是,

由于直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,所以,即,

所以,

四邊形的面積,

令,,則,

所以,

當(dāng),即時,，

因此四邊形面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市約有20萬住戶，為了節(jié)約能源，擬出臺“階梯電價”制度，即制定住戶月用電量的臨界值，若某住戶某月用電量不超過度，則按平價（即原價）0.5（單位：元/度）計(jì)費(fèi)；若某月用電量超過度，則超出部分按議價（單位：元/度）計(jì)費(fèi)，未超出部分按平價計(jì)費(fèi).為確定的值，隨機(jī)調(diào)查了該市100戶的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問題（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

（1）若該市計(jì)劃讓全市70%的住戶在“階梯電價”出臺前后繳納的電費(fèi)不變，求臨界值；

（2）在（1）的條件下，假定出臺“階梯電價”之后，月用電量未達(dá)度的住戶用電量保持不變；月用電量超過度的住戶節(jié)省“超出部分”的60%，試估計(jì)全市每月節(jié)約的電量.

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【題目】某同學(xué)理科成績優(yōu)異，今年參加了數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物4門學(xué)科競賽．已知該同學(xué)數(shù)學(xué)獲一等獎的概率為，物理，化學(xué)，生物獲一等獎的概率都是，且四門學(xué)科是否獲一等獎相互獨(dú)立．

（1）求該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎的概率；

（2）用隨機(jī)變量表示該同學(xué)獲得一等獎的總數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】如圖,已知長方形中,,為的中點(diǎn). 將沿折起,使得平面平面.

(1)求證: .

(2)點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn),當(dāng)二面角大小為時,試確定點(diǎn)的位置.

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【題目】劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知橢圓：的四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓.

（1）判斷圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)直線與拋物線交于，，且，若的面積為，求直線的方程.

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【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，//，平面平面ABCD，點(diǎn)E，F分別為AD，CP的中點(diǎn)，.

（1）證明：直線//平面PAB；

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）若，求直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線的斜率為，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.

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