已知橢圓C1
x2
4
+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,
OB
=2
OA
,求直線AB的方程.
(1)橢圓C1
x2
4
+y2=1
的長軸長為4,離心率為e=
c
a
=
3
2

∵橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率
∴橢圓C2的焦點在y軸上,2b=4,為e=
c
a
=
3
2

∴b=2,a=4
∴橢圓C2的方程為
y2
16
+
x2
4
=1
;
(2)設A,B的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB),
OB
=2
OA

∴O,A,B三點共線,且點A,B不在y軸上
∴設AB的方程為y=kx
將y=kx代入
x2
4
+y2=1
,消元可得(1+4k2)x2=4,∴xA2=
4
1+4k2

將y=kx代入
y2
16
+
x2
4
=1
,消元可得(4+k2)x2=16,∴xB2=
16
4+k2

OB
=2
OA
,∴xB2=4xA2,
16
4+k2
=
16
1+4k2
,解得k=±1,
∴AB的方程為y=±x
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知k∈R,當k的取值變化時,關于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直線有無數(shù)條,這無數(shù)條直線形成了一個直線系,記集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2僅有唯一直線}.
(1)求M中點(x,y)的軌跡方程;
(2)設P={(x,y)|y=2x+a,a為常數(shù)},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值為
5
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)d的離心率為
2
2
,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(
2
+1
).一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(2)是否存在常熟λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1
,F(xiàn)是右焦點,若直線L過F與橢圓相交于A,B兩點,且
AF
=2
FB
,則直線L的方程為:______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),焦點F為(0,1),點P(x1,y1)是拋物線上的任意一點,過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A(s,t).
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范圍.
(3)過點A作拋物線C的另一條切線AQ,其中Q(x2,y2)為切點,試問直線PQ是否恒過定點,若是,求出定點;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1
兩焦點分別為F1、F2,P是橢圓在第一象限弧上一點,并滿足
PF1
PF2
=1
,過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點.
(1)求P點坐標;
(2)求證:直線AB的斜率為定值;
(3)求△PAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設點F(0,
3
2
)
,動圓P經(jīng)過點F且和直線y=-
3
2
相切.記動圓的圓心P的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求曲線W的方程;
(Ⅱ)過點F作互相垂直的直線l1,l2,分別交曲線W于A,B和C,D.求四邊形ACBD面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸長為4,若點P是橢圓C上任意一點,過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點,記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN,當KPMKPN=-
1
4
時,則橢圓方程為( 。
A.
x2
16
+
y2
4
=1
B.
x2
4
+
y2
2
=1
C.x2+
y2
4
=1
D.
x2
4
+y2=1

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線.

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同步練習冊答案