精英家教網如圖，過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于點A、B、C、D，則
AB
•
CD
的值是
 
．
分析：設A、D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）及直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出y1•y2，y1+y2，
并用y1，y2表示AF，F(xiàn)D，而所求
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1），代入
上述式子中即可．
解答：解：設A、D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），依題意知焦點F（0，1），則設直線AD方程為：y=kx+1，
聯(lián)立
y=kx+1
x2=4y
消去x，得y2-（2+4k2）y+1=0，
∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1
又根據拋物線定義得AF=y1+
p
2
，F(xiàn)D=y2+
p
2
，∴AF=y1+1，F(xiàn)D=y2+1
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1）
=y1•y2=1．
故答案為1
點評：此題設計構思比較新穎，考查拋物線的定義及巧妙將向量數(shù)量積轉化，
同時在解答過程中處理直線和拋物線的關系時運用了設而不求的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．
（I）設點P分有向線段
AB
所成的比為λ，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)
（Ⅱ）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，證明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）條件下，若點Q是點P關于原點對稱點，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興模擬）如圖，過拋物線x2=4y焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點（A在第一象限），點C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，求直線l的方程；
（II）若|AB|∈(
9
2
，
64
7
)，且∠FAC為銳角，試求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．
（I）設點P分有向線段所成的比為λ，證明：
（Ⅱ）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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