Question

甲、乙、丙3人各進(jìn)行1次射擊，若3人擊中目標(biāo)的概率分別是

1

2

，

1

3

，

1

4

．
求（1）3人中至少有1人擊中目標(biāo)的概率；
（2）若乙擊5次，至少有兩次擊中目標(biāo)的概率；
（3）乙至少要射擊幾次才能使擊中目標(biāo)的概率大于98%；
（4）若三人同時(shí)射擊，恰有一人擊中目標(biāo)的概率．

Answer 1

分析：（1）記3人中至少有1人擊中目標(biāo)為事件A，則A的對立事件

.

A

為3人都沒有擊中目標(biāo)，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算可得P（

.

A

），由對立事件的概率性質(zhì)，計(jì)算可得答案；
（2）記乙擊5次，至少有兩次擊中目標(biāo)為事件B，則B的對立事件

.

B

為5次中擊中1次或沒有擊中1次，分別計(jì)算①5次中擊中1次與②5次中沒有擊中1次的概率，由互斥事件概率的加法公式，計(jì)算可得答案；
（3）設(shè)乙至少要射擊k次才能使擊中目標(biāo)，分析可得其對立事件為k次都沒有擊中目標(biāo)，并記為C，易得P（C），又由題意，可得1-P（C）=1-（

2

3

）^k＞0.98，即（

2

3

）^k＜0.02，解可得答案；
（4）分3種情況討論：①只有甲擊中，②只有乙擊中，③只有丙擊中，計(jì)算每種情況的概率，由互斥事件概率的加法公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）記3人中至少有1人擊中目標(biāo)為事件A，則A的對立事件

.

A

為3人都沒有擊中目標(biāo)，
則P（

.

A

）=（1-

1

2

）（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

4

，
則P（A）=1-P（

.

A

）=1-

1

4

=

3

4

，
（2）記乙擊5次，至少有兩次擊中目標(biāo)為事件B，則B的對立事件

.

B

為5次中擊中1次或沒有擊中，
若5次中擊中1次的概率為P₁=C₅¹×

1

3

×（1-

1

3

）⁴=

80

243

，
若5次中沒有擊中1次的概率P₂=（1-

1

3

）⁵=

32

243

，
則P（

.

B

）=

80

243

+

32

243

=

112

243

，
則P（B）=1-

112

243

=

131

243

；
（3）乙至少要射擊k次才能使擊中目標(biāo)，其對立事件為k次都沒有擊中目標(biāo)，記為C，
則其概率P（C）=（1-

1

3

）^k=（

2

3

）^k，
若1-P（C）=1-（

2

3

）^k＞0.98，即（

2

3

）^k＜0.02，
解可得，k＞5，
則乙至少要射擊5次才能使擊中目標(biāo)；
（4）分3種情況討論：
①只有甲擊中，其概率為P₃=（

1

2

）（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

4

，
②只有乙擊中，其概率為P₄=（1-

1

2

）（

1

3

）（1-

1

4

）=

1

8

，
③只有丙擊中，其概率為P₅=（1-

1

2

）（1-

1

3

）（

1

4

）=

1

12

，
則恰有一人擊中目標(biāo)的概率P=P₃+P₄+P₅=

11

24

．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件、對立事件、n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，涉及范圍較大，解題時(shí)要分清事件之間的關(guān)系．