Question

如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′-BCDE，其中A′O=．
（1）證明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A^′OD=∠A^′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）方法一：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A'F．利用（1）可知：A'O⊥平面BCDE，根據(jù)三垂線定理得A'F⊥CD，所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；
方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．
解答：（1）證明：連接OD，OE．
因?yàn)樵诘妊�直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．
在△COD中，，同理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124315745703613/SYS201310251243157457036017_DA/5.png">，．
所以A'O²+OD²=A'D²，A'O²+OE²=A'E²．
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD，A'O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A'O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A'F
因?yàn)锳'O⊥平面BCDE．
根據(jù)三垂線定理，有A'F⊥CD．
所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．
在Rt△COF中，．
在Rt△A'OF中，．
所以．
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為．
方法二：
取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則是平面BCDE的一個(gè)法向量．
設(shè)平面A'CD的法向量為n=（x，y，z），．
所以，令x=1，則y=-1，．
所以是平面A'CD的一個(gè)法向量
設(shè)二面角A'-CD-B的平面角為θ，且
所以
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．