Question

設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC₁的棱AB和D₁C₁的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A₁ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是（　�。�

A．0

B．2

C．4

D．6

Answer 1

分析：先把六個(gè)面分為三組，在一組組的進(jìn)行研究，找到直線與截面法向量的夾角即可得到結(jié)論．

解答：解：首先，把六個(gè)面分成三組，AA₁D₁D和BB₁C₁C對(duì)截面的關(guān)系是一樣的，其他四個(gè)是一樣的，
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，AD所在直線為X軸，DC所在直線為Y軸，DD₁所在直線為Z軸，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2；
則A（2，0，0），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2，），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2）；
∴

EC

=（-2，1，0），

A1E

=（（0，1，2），

AC

=（-2，2，0），

BD

=（-2，-2，0），

B 1C

=（-2，0，-2），

B1A

=（0，-2，-2）；

A1B

=（0，2，-2）
因?yàn)橐�想面�?duì)角線截面A₁ECF成60°角，需要直線與法向量的夾角為30度，即其余弦值為±

3

2

．
設(shè)截面A₁ECF的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • EC =0 n • A1E =0

⇒

y-2z=0 -2x+y=0

⇒

n

=（1，2，1），且|

n

|=

6

，
因?yàn)閏os＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

-2+2×2

8 • 6

=

3

6

≠±

3

2

；
cos＜

BD

，

n

＞=

-2-2×2

8 ×  6

=-

3

2

，
cos＜

B1C

，

n

＞=

-2-2

8 • 6

≠±

3

2

；
cos（

B1A

，

n

＞=

-2-2×2

8 • 6

=-

3

2

；
cos＜

A1B

，

n

＞=

2×2-2

8 × 6

≠±

3

2

；
再看AA₁D₁D這個(gè)面里，
AD₁與EF平行，不是，
所以，一共四條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、直線與平面所成的角，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．