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已知等比數列{an}中,a1=0,an+1=
1
2-an

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式an
(Ⅱ)設數列{an}的前n項和為Sn,證明:Sn<n-ln(n+1);
(Ⅲ)設bn=an
9
10
n,證明:對任意的正整數n、m,均有|bn-bm|<
3
5
分析:(Ⅰ)將已知變形,整理,轉化成等差數列解決.
(Ⅱ)Sn無法進一步化簡,且原不等式為超越不等式,考慮借助于函數的單調性證明.
(Ⅲ)研究數列{bn}的單調性,尋求最大項與最小項,或任兩項差的絕對值變化情況.
解答:解:(Ⅰ)因為 
1
an+1-1
=
1
1
2-an
- 1
=
2-an
an-1
=-1+
1
an-1
                                          
所以 
1
an- 1
=
1
a1- 1
+ (n-1)•(-1)
所以  an=1-
1
n
 
(Ⅱ)設F(x)=ln(x+1)-x(x>0)
  則F(X)=
1
1+X
- 1=
-X
X+1
<0
故F(x)<F(0)=0   ln(x+1)<x,
ln(1+
1
n
) 
1
n
   所以1-ln(1+
1
n
)>1-
1
n

所以an=1-
1
n
<1-ln(n+1)+lnn
所以Sn<(1-ln2+ln1)+(1-ln3+ln2)+…+[1-ln(n+1)+lnn]=n-ln(n+1)
(Ⅲ)由已知  
bn
bn+1
=
n-1
n
×
n+1
n
×
10
9
=
n2- 1
n2
×
10
9

bn
bn+1
>1
時,n>
10
,n≥4;當 
bn
bn+1
<1
時,n≤3,
所以b1<b2<b3<b4>b5>b6>…
又因為     n≥2,bn>0,b1=0
所以對任意的正整數n、m,均有|bn-bm|的最大值為
 b4-b1=
3
4
×(
9
10
)
4
 -0
=
19683
40000
24000
40000
 =
3
5

所以對任意的正整數n、m,均有|bn-bm|<
3
5
點評:本題考查等差數列的定義,數列的函數性質,不等式的證明方法-放縮法,要求具有較強的分析,解決,轉化,計算等能力.
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12
,則n=
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