【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),求證:無論實(shí)數(shù)取什么值都有.

【答案】(1)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

2)見解析.

【解析】試題分析: (1)先求導(dǎo)數(shù),研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點(diǎn)情況,本題實(shí)質(zhì)研究上零點(diǎn)情況:當(dāng)方程無根時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí),比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系,再確定單調(diào)區(qū)間,(2)先由(1)知,且兩個(gè)極值點(diǎn)滿足.再代入化簡,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

,記,判別式.

當(dāng)時(shí),恒成立,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,記,,顯然

)若,圖象的對(duì)稱軸,.

兩根在區(qū)間上,可知當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,,所以,所以在區(qū)間上遞增.

)若,則圖象的對(duì)稱軸.,所以,當(dāng)時(shí),,所以,所以上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,所以,所以上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

2)由(1)知當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),且.

,

.,則,所以時(shí)單調(diào)遞增,,所以,所以.

練習(xí)冊系列答案
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(1)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,圖乙的程序框圖是對(duì)這60名酒后駕車者血液的酒精濃度做進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì),求出圖乙輸出的S的值,并說明S的統(tǒng)計(jì)意義;(圖乙中數(shù)據(jù)分別表示圖甲中各組的組中值及頻率)

2)本次行動(dòng)中,吳、李兩位先生都被酒精測試儀測得酒精濃度屬于7090的范圍,但他倆堅(jiān)稱沒喝那么多,是測試儀不準(zhǔn),交警大隊(duì)隊(duì)長決定在被酒精測試儀測得酒精濃度屬于7090范圍的酒后駕車者中隨機(jī)抽出2人抽血檢驗(yàn),設(shè)為吳、李兩位先生被抽中的人數(shù),求的分布列,并求吳、李兩位先生至少有1人被抽中的概率.

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1的解析式;

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