Question

數(shù)列1,1+2,1+2+2²,…,1+2+2²+…+2^n-1,…的前n項(xiàng)和S_n等于(    )

A.2ⁿ                         B.2ⁿ-n                C.2ⁿ⁺¹-n            D.2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

思路解析:已知條件中給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式,但形式比較復(fù)雜,容易看到其通項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和所構(gòu)成,故可考慮先利用求和公式,將其化簡(jiǎn),然后再考慮求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過(guò)計(jì)算后可以發(fā)現(xiàn),要求數(shù)列的通項(xiàng)又可以視為一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)之和,故在求其和的過(guò)程中,可以將其視為兩部分,一部分是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,而另一部分是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,從而將問(wèn)題解決.

由題意得,該數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1,

故S_n=(2¹-1)+(2²-1)+(2³-1)+…+(2ⁿ-1)=(2¹+2²+…+2ⁿ)-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2,

故選D.(注:可以考慮通過(guò)取特殊的n值檢驗(yàn))

答案:D