Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一點P（x₀，y₀）滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂為定值2y₀，則2y₀的值為（　�。�

• A、-

  1

  3

• B、-

  2

  3

• C、-

  4

  3

• D、-2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，本題中的P點是函數(shù)圖象的對稱中心，由此求出函數(shù)的對稱中心，即可求出定值，再對比四個選項，得出正確選項

解答：解：P為定點，y₁+y₂為定值，可以得出M、N兩點關(guān)于P點對稱
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函數(shù)的對稱中心點處的二階導(dǎo)數(shù)為0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P點為（-1，-

1

3

）
y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故選B

點評：本題考查奇偶函數(shù)圖象的對稱性，正確解答本題，關(guān)鍵是由題意得出點P是函數(shù)圖象的對稱中心，以及了解當(dāng)點P中曲線上時，對稱中心處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為0，本題知識性強(qiáng)，且涉及到二階導(dǎo)數(shù)與圖象的關(guān)系，題后應(yīng)總結(jié)解題規(guī)律