Question

(本題滿分12分)
已知函數,為實數，.
（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數．

Answer 1

（Ⅰ），為所求． （Ⅱ）或．
（Ⅲ）當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；
當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，
可知函數有兩個極值點．

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
（1）因為函數,為實數，.求解導數。判定單調性和最值，結合在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1得到參數、的值；
（2）在（Ⅰ）的條件下，先求解導數值，然后得到經過點且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設函數，函數的極值點個數就是分析單調性來得到結論。
解：（Ⅰ）由，得，．
∵，，
∴ 當時，，遞增；
當時，， 遞減．
∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．……………………2分
又，，∴ ．
由題意得，即，得．
故，為所求．                 ………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．
⑴ 當切點為時，切線的斜率，
∴ 的方程為，即． ……………………5分
⑵當切點不是切點時，設切點為，
切線的斜率，
∴ 的方程為 ．
又點在上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即，∴．
∴ 切線的方程為
故所求切線的方程為或．  ………………………………8分
（Ⅲ）解： ．
∴

二次函數的判別式為
，
令，得：
令，得    ………………………………10分
∵，，
∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；
當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，
可知函數有兩個極值點．               ………………………………12分