Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2005年進(jìn)行一系列的促銷(xiāo)活動(dòng)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足：3-x與t+1成反比例．如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．又2005年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投資32萬(wàn)元．當(dāng)將化妝品的售價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷(xiāo)量相等．
（1）試用促銷(xiāo)費(fèi)用t表示年銷(xiāo)售量x．
（2）將2005年的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．
（3）該企業(yè)2005年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）由題意：，
且當(dāng)t=0時(shí)，x=1．
所以k=2，即．

（2）當(dāng)年銷(xiāo)量為x萬(wàn)件時(shí)，成本為3+32x（萬(wàn)元）．
化妝品的售價(jià)為（萬(wàn)元/萬(wàn)件）
所以年利潤(rùn)y=（萬(wàn)元）
把
代入整理得到，其中t≥0．
去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．

（3）該關(guān)于t的方程在[0，+∞）上有解．
當(dāng)2y-35≤0，即y≤17.5時(shí)，必有一解．
當(dāng)2y-35＞0時(shí)，該關(guān)于t的方程必須有兩正根
所以．解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤(rùn)最大為42萬(wàn)元，此時(shí)促銷(xiāo)費(fèi)t=7（萬(wàn)元）．
分析：（1）根據(jù)題意，3-x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時(shí)，x=1，求出k的值
（2）通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．
（3）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出最值，即促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，注意建模、解模，實(shí)際問(wèn)題的處理時(shí)，函數(shù)的定義域的范圍；考查理解問(wèn)題分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．屬于中檔題．