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如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓有兩個不同的交
點和，且原點總在以為直徑的圓的內部，求實數的取值范圍．

(1)  ;(2)

解析試題分析：（1）根據橢圓方程寫出頂點的坐標，然后寫出的坐標,利用兩向量共線的充要條件：,得與的關系，結合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設直線，與橢圓有兩個不同的交點和,設,將直線方程代入橢圓方程，消去,得到關于的方程，由兩個不同交點，,并且得到與,原點總在以為直徑的圓的內部，為鈍角，即,整理，代入根與系數的關系，比較得出的取值范圍.
試題解析：（1）解：設橢圓的標準方程為，由已知得，，，，所以，，
因為與n，共線，所以，     2分
由，解得，，
所以橢圓的標準方程為.        4分
（2）解：設，，，，把直線方程代入橢圓方程，
消去，得，
所以，，     8分
，即 （*）       9分
因為原點總在以為直徑的圓的內部，
所以，即，     10分
又，
由得，     13分
依題意且滿足（*）得  
故實數的取值范圍是

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；
（2）求證：。
（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.

(1)求橢圓C1的方程；
(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，
(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中，F2是雙曲線的右焦點，求△F2MN的面積S關于傾斜角的表達式。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為.記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點的直線交曲線于、兩點，過點和原點的直線交直線于點，求證：直線平行于軸.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

拋物線，其準線方程為，過準線與軸的交點做直線交拋物線于兩點.
（1）若點為中點，求直線的方程；
（2）設拋物線的焦點為，當時，求的面積．

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