已知函數(shù)的導函數(shù)為，的圖象在點，處的切線方程為，且，直線是函數(shù)的圖象的一條切線.

（1）求函數(shù)的解析式及的值；

（2）若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

(1) ,(2) .

【解析】

試題分析：(1) 先求,根據(jù)導數(shù)的幾何意義，得：,,列方程，解得,解得,易知與相交于，又相切，所以函數(shù)在原點處的切線斜率為1,即,求出;(2)代入函數(shù)后，整理成的形式，所以即求在，的最小值，設,利用分析,結(jié)合定義域，求出最小值.較難題型.

試題解析：（1）解：， 1分

由題意，，①

，②

，③

由①②③解得，，，

所以. 4分

由題意，與相切可知，函數(shù)在原點處的切線斜率為1，

因為，所以. 6分

（2）解：問題等價于，

整理得=對于任意，恒成立，

只需求在，的最小值. 8分

設，則， 10分

又，，

所以必有一實根，且，，，

當，時，；當，時，，

，

所以在，的最小值為1， 13分

所以，

即實數(shù)的取值范圍是，. 14分

考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.利用導數(shù)求函數(shù)最值；3構(gòu)造函數(shù).

 

練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的對稱中心為M（x0，f（x0）），記函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），f′（x）的導函數(shù)為f″（x），則有f″（x0）=0．若函數(shù)f（x）=x3-3x2，則
①f（x）的對稱中心是
 

②：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
log
1
2
x  (x≥1)
(x-1)2 (x＜1)
的反函數(shù)為f-1（x），在（-∞，1）∪（1，+∞）上的導函數(shù)為f′（x），則f-1（4）+f′（-1）=（　　）
A、-6B、1C、-1D、-5

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已知函數(shù)的導函數(shù)為,1，1），且，如果，則實數(shù)的取值范圍為（    ）

A．（）          B．         C．        D．

 

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（本小題共12分）

        已知函數(shù)的導函數(shù)為，且不等式的解集

為

   （I）若函數(shù)的極大值為0，求實數(shù)a的值；

   （II）當x滿足不等式時，關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍。

 

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已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，如果,則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. (0,1)        B.           C.         D.

 

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