Question

數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=4的等比數(shù)列，s_n為其前n項(xiàng)和，且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=log₂|a_n|，設(shè)T_n為數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和，求證T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，先看當(dāng)q=1時(shí)，S₃，S₂，S₄不成等差數(shù)列，不符合題意，判斷出q≠1，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列求和公式表示出S₃，S₂，S₄，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，求得q，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求得前n項(xiàng)的和，根據(jù)Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.原式得證．

解答：解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
當(dāng)q=1時(shí)，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數(shù)列
∴q≠1，S3=

4(1-q3)

1-q

，S2=

4(1-q2)

1-q

，S4=

4(1-q4)

1-q

2S₂=S₃+S₄，
∴

8(1-q2)

1-q

=

4(1-q3)

1-q

+

4(1-q4)

1-q

，
即q⁴+q³-2q²=0．∵q≠0，q≠1，∴q=-2，
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（Ⅱ）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和．應(yīng)熟練掌握常用的數(shù)列求和的方法，如公式法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)法等．