已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F2斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證：為定值．
（1）．（2）證明見解析.

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立的方程組即得；
（2）要證明為定值，須從確定兩直線斜率的表達式入手.根據(jù)題目的條件，應(yīng)注意設(shè)出的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達定理，建立與坐標的聯(lián)系；確定的坐標，將斜率用坐標表示.得到，的關(guān)系即得證.
設(shè)過點 的直線方程為：，，點，
將代入橢圓整理得： 
應(yīng)用韋達定理   ；
根據(jù)直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，點 ；
由直線 的斜率為
，
將代入上式得到，的關(guān)系即得證.
試題解析：（1）由題意得，，                      2分
所以，，所求橢圓方程為．                  4分
（2）設(shè)過點 的直線方程為：，
設(shè)點，點                                         5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                           6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                         7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，
所以點的坐標                            9分
直線 的斜率為
      11分
將代入上式得：

所以為定值                                       13分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點，線段 的垂直平分線交軸于點，當變化時,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點，且|AB|＝，設(shè)O為坐標原點，動點P滿足＝＋.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)過點(，0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1，l2與點P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設(shè)CD，EF的弦中點分別為M，N，求證：直線MN恒過一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經(jīng)過點(,1),O為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的離心率為，且經(jīng)過點過坐標原點的直線與均不在坐標軸上，與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點．

(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)一個焦點為,且離心率的橢圓上下兩頂點分別為,直線交橢圓于兩點,直線與直線交于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：三點共線.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F是橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點,點P在橢圓C上,線段PF與圓（x-）2+y2=相切于點Q,且=2,則橢圓C的離心率等于(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形， 則C2的離心率是________．

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