Question

如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C₁—C₂型點”．

(1)在正確證明的左焦點是“C₁—C₂型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C₁—C₂型點”；

(3)求證：圓內的點都不是“C₁—C₂型點”．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】（1）C₁的左焦點為，過F的直線與C₁交于，與C₂交于，故C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”，且直線可以為；

（2）直線與C₂有交點，則

，若方程組有解，則必須；

直線與C₂有交點，則

，若方程組有解，則必須

故直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點，即原點不是“C₁-C₂型點”。

（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線C₁有交點，則斜率必存在；

根據對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線C₂交于點，則

直線與圓內部有交點，故

化簡得，①

若直線與曲線C₁有交點，則

化簡得，②

由①②得，

但此時，因為，即①式不成立；

當時，①式也不成立

綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線C₁和C₂有交點，

即圓內的點都不是“C₁-C₂型點” ．

【考點定位】考查雙曲線，直線，圓的位置關系，綜合性較強，屬難題。