Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足：a_n²-na_n-（n+1）=0，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

an•log2bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解方程a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n，由S_n=2b_n-2，得n≥2時，S_n-1=2b_n-1-2，兩式相減得b_n的遞推式，根據(jù)遞推式可判斷{b_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而可求得b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

1

anlog2bn

，拆項后利用裂項相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n=n+1，或a_n=-1（舍去），
∴a_n=n+1；
又S_n=2b_n-2，∴n≥2時，S_n-1=2b_n-1-2，
兩式相減，得b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}為等比數(shù)列，公比q=2，
又∵S₁=b₁=2b₁-2，∴b₁=2，
∴bn=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n+1，bn=2n，
∴

1

an•log2bn

=

1

(n+1)log22n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查由遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等知識，裂相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．