【題目】設(shè)函數(shù),
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,在定義域內(nèi)存在,使得,求證:;
(3)記為的反函數(shù),當(dāng)時,求證:
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)由題意對函數(shù)求導(dǎo),按照、、分類討論,解出、的解集即可得解;
(2)求導(dǎo)后,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得,令,求導(dǎo)后可證明當(dāng)時,,進(jìn)而可得,再由函數(shù)的單調(diào)性即可得證;
(3)令,求導(dǎo)可得當(dāng)時,即,作差后放縮即可得證.
(1)由題意,
則,
令,則,,
當(dāng)時,,,此時,
故函數(shù)在,上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,
故函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
綜上,當(dāng)時,函數(shù)在,上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)證明:由題意,則,
所以當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
所以,
令,
則,
可知當(dāng)時,單調(diào)遞減,
又,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
又,所以當(dāng)時,,
所以,所以,
由可得,
所以;
(3)證明:由題意,則原不等式可化為,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,所以,
所以當(dāng)時,即,
所以,
所以即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直三棱柱中的底面為等腰直角三角形,,點(diǎn)分別是邊,上動點(diǎn),若直線平面,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡為
A. 雙曲線的一支一部分 B. 圓弧一部分
C. 線段去掉一個端點(diǎn) D. 拋物線的一部分
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【題目】甲、乙二射擊運(yùn)動員分別對一目標(biāo)射擊次,甲射中的概率為,乙射中的概率為,求:
(1)人都射中目標(biāo)的概率; (2)人中恰有人射中目標(biāo)的概率;
(3)人至少有人射中目標(biāo)的概率; (4)人至多有人射中目標(biāo)的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方體的棱長為2,,,,分別是,,,的中點(diǎn),則過且與平行的平面截正方體所得截面的面積為____,和該截面所成角的正弦值為______.
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【題目】已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,復(fù)數(shù)z滿足,下列結(jié)論正確的是( )
A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-2i
C.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D.與z對應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】盒子內(nèi)有3個不同的黑球,5個不同的白球.
(1)從中取出3個黑球、4個白球排成一列且4個白球兩兩不相鄰的排法有多少種?
(2)從中任取6個球且白球的個數(shù)不比黑球個數(shù)少的取法有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]:在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;
(2)判斷曲線,是否相交,若相交,請求出交點(diǎn)間的距離;若不相交,請說明理由.
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【題目】某學(xué)習(xí)小組在研究性學(xué)習(xí)中,對晝夜溫差大小與綠豆種子一天內(nèi)出芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究.該小組在4月份記錄了1日至6日每天晝夜最高、最低溫度(如圖1),以及浸泡的100顆綠豆種子當(dāng)天內(nèi)的出芽數(shù)(如圖2).
根據(jù)上述數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,可知綠豆種子出芽數(shù) (顆)和溫差 ()具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求綠豆種子出芽數(shù) (顆)關(guān)于溫差 ()的回歸方程;
(2)假如4月1日至7日的日溫差的平均值為11,估計4月7日浸泡的10000顆綠豆種子一天內(nèi)的出芽數(shù).
附:,
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