Question

已知a∈R，
命題p：實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)；
命題q：存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足|z|=2且|z+a|=1．
試判斷：命題p和命題q之間是否存在推出關(guān)系？請說明你的理由．

Answer 1

分析：利用一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，可得實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)，即△＜0，進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，根據(jù)復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足|z|=2且|z+a|=1，可計(jì)算出命題q中參數(shù)a的取值范圍，然后根據(jù)兩個(gè)范圍對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，易判斷命題p和命題q之間是否存在推出關(guān)系．

解答：解：若命題p為真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
若命題q為真，可知復(fù)平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有交點(diǎn)，
于是由圖形不難得到a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合A=(-2

2

，2

2

)，集合B=[-3，-1]∪[1，3]，
可知集合A和集合B之間互不包含，
于是命題p和命題q之間不存在推出關(guān)系．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，及充要條件的定義，其中求出兩個(gè)命題中參數(shù)的范圍，將命題之間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．