【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面B1EF的法向量為n，平面BDD1B1的一個(gè)法向量為，利用空間向量的數(shù)量積證明

n⊥,即可.

證明：以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意知:D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,0),F(,2,0),

因此=(0,-,-4),=(-, ,0).

設(shè)平面B1EF的法向量為n=(x,y,z)，則n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0.

解得x=y,z=-y,令y=1得n=,

又因?yàn)槠矫鍮DD1B1的一個(gè)法向量為=(-2,2,0),而n·=1×(-2)+1×2×0=0,

即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E．求證：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．

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