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【題目】已知拋物線C： ，點在x軸的正半軸上，過點M的直線與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點．

（1）若，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（2）是否存在定點M，使得不論直線繞點M如何轉動， 恒為定值？

【答案】（1）以AB為直徑的圓的方程是；（2）存在定點，滿足題意．

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得圓心坐標和圓的半徑，從而可得圓的方程．

（2）若存在定點這樣的點，使得恒為定值；直線： 與拋物線C： 聯立，計算,，利用恒為定值，可求出點的坐標．

試題解析：（1）當時， ，此時，點M為拋物線C的焦點，

直線的方程為，設，聯立，

消去y得， ，∴， ，∴圓心坐標為．

又，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為．

（2）由題意可設直線的方程為，則直線的方程與拋物線C： 聯立，

消去x得： ，則， ，

對任意恒為定值，

于是，此時．

∴存在定點，滿足題意．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】學校射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數的概率如表：

命中環(huán)數

10環(huán)

9環(huán)

8環(huán)

7環(huán)

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求該選手射擊一次，

(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率.

(2)至少命中8環(huán)的概率.

(3)命中不足8環(huán)的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點為圓的圓心， 是圓上動點，點在圓的半徑上，且有點和上的點，滿足

（1）當在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點的軌跡教育不同的兩點 是坐標原點，且時，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓過兩點， ，且圓心在直線上．

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）直線過點且與圓有兩個不同的交點， ，若直線的斜率大于0，求的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在直線使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓心為，定點， 為圓上一點，線段上一點滿足，直線上一點，滿足．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點．當且滿足時，求面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為．

（1）若，過點, 的直線與拋物線相交于另一點，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于兩點， 為坐標原點， ，試問：是否存在實數，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2015年12月，華中地區(qū)數城市空氣污染指數“爆表”，此輪污染為2015年以來最嚴重的污染過程，為了探究車流量與的濃度是否相關，現采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數據如表：

（1）由散點圖知與具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（提示數據： ）

（2）利用（1）所求的回歸方程，預測該市車流量為12萬輛時的濃度.

參考公式：回歸直線的方程是，其中， .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知向量， ，且滿足.

（1）求點的軌跡方程所代表的曲線；

（2）若點， ， 是曲線上的動點，點在直線上，且滿足， ，當點在上運動時，求點的軌跡方程.

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